概述

Butterfly 主题内置了 MathJax 支持，只需在文章 Front-matter 中设置 mathjax: true 即可启用 LaTeX 公式渲染。

行内公式

行内公式使用 $...$ 包裹，例如：

  • 欧拉公式：$e^{i\pi} + 1 = 0$
  • 勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$
  • 质能方程：$E = mc^2$
  • 正态分布：$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

块级公式

柯西-施瓦茨不等式

$$
\left( \sum_{k=1}^{n} a_k b_k \right)^2 \leq
\left( \sum_{k=1}^{n} a_k^2 \right)
\left( \sum_{k=1}^{n} b_k^2 \right)
$$

傅里叶变换

$$
\mathcal{F}{f(t)} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} , dt
$$

矩阵

$$
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
$$

贝叶斯定理

$$
P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}
$$

多行公式（麦克斯韦方程组）

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \
\nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0 \left( \mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)
\end{aligned}
$$

微积分

极限

$$
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e
$$

积分

$$
\int_{0}^{\pi} \sin x , dx = 2
$$

机器学习常用公式

线性回归损失函数

$$
J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} \left( h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)} \right)^2
$$

Softmax 函数

$$
\sigma(\mathbf{z})i = \frac{e^{z_i}}{\sum{j=1}^{K} e^{z_j}}
$$

交叉熵损失

$$
\mathcal{L} = -\sum_{c=1}^{C} y_c \log(\hat{y}_c)
$$

更多 LaTeX 语法请参考 LaTeX Wiki。